孤独的素数 ② 圣人欧拉

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楼主 2020-10-17 13:04:07
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圣 人 欧 拉

    

高斯是在巨人肩膀上成长的,最伟岸者当属莱昂哈德 · 欧拉。  

高斯出生那年欧拉已经整整70岁了,俩人注定无缘相见。 欧拉晚年双目失明,却丝毫不影响他洞察数学世界。

如果把高斯跨界比作李白的话,那么欧拉就是杜甫。 区别在于:李白比杜甫大11岁,并且二人后来是见过面的。

高斯说过:研究欧拉的著作永远是掌握数学的最好方法。

1

在百度键入“欧拉”,立马弹出如下结果:

这足够说明欧拉对人类的巨大贡献了。瑞士人用10瑞士法郎纸币上的头像来诠释欧拉给祖国带来的荣耀,我觉得远远不够。

素数定理中的lnN,就是以 e 为底的自然对数。 这个e是欧拉经手正式命名的,所以又称为 “欧拉数”。

数学中最最重要的五个数是:0   1  π   e   i

0 1 是科学文明之源头古希腊人确立的;

虚数 i 是笛卡尔创立的;

自然常数 e 是欧拉命名的;

还算给四大文明古国之一的中国留了点面子:把 π 的精确推算交给了1500多年前、中国南北朝时期镇江府的一名副科级干部:祖冲之。

有了这五个数,宇宙间的事情都能说的明白,迟早都能说的明白。

把这五个数天衣无缝般完美统一起来的,就是欧拉。

说说这个神奇的自然常数:e

这个无处不在的数是悄然现身人间的,因为没人能说清它是由谁、在哪一年、究竟因为啥,偶然就给发现了。人们只知道它出现在对数、指数和微积分发明之前。

有人推测说:那时的欧洲,资本已经萌芽,e的现身很可能与复利最大化的计算有关,并举出一个存款利滚利的例子进行验算演示(可网查) 资本逐利,推动数学,有些道理。

e 的神奇,有许许多多现象可以印证。 比如股市里非常讲究的斐波那契数列, 特征是前两个数加起来就是下一个数

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89  ......  后一个数字除以前一个数字,又无限逼近一个固定数字: 89÷55= 1.6181818 ...  这就是所谓的黄金分割。 由此衍生出了一条螺旋曲线,叫做 “斐波那契黄金螺旋”


但是,从严密的数学概念讲:这是假的黄金分割螺旋线!

真正的黄金螺旋,是一种内涵黄金分割比例的对数螺旋,有严格的极坐标公式(见下图)。 大自然永远服膺的还是那个e  斐波那契发现的那条螺旋线之所以实用, 是因为它与数学意义上的黄金螺旋线非常贴近,反复缠绕,却永不重合!




 2

俄罗斯那个生在皇家的年轻人彼得一世,正好与大清帝国的康熙同时代。他10岁即位、17岁主政、53岁却英年早逝了。

彼得大帝死后的第三年,20岁的欧拉经人推荐来到了圣彼得堡。 像他这个年龄和当时那一点点小名望, 也只能到刚刚开化的俄国找出路,正好比当年的苏秦、张仪、李斯、商鞅他们的出道路径。虽然他见不到彼得大帝了,但这位叱咤风云的主儿,已经为俄罗斯的西化和崛起荡平了一切障碍。 彼得大帝尤其重视基础科学, 比如圣彼得堡科学院正是按照他的具体想法建立起来的。“俄国根本就没有科学家,建这么个机构干什么呢?” 有反对者弱弱嘟囔。 彼得一世大吼一声“给我高价从国外聘请去!” 所以呢才有了后来的欧拉、年纪轻轻就担任了

 

然而, 欧拉来的“也不太是时候”。 因为彼得大帝死的太过匆忙,俄罗斯还没来得及产生第二位秉承他理念的强势政治人物,国内迅疾陷入了社会动荡和政治窒息。 在圣彼得堡的十几年里,欧拉和所有“外面来的人”一样,几乎每天都在秘密警察的监视之下。 不幸中的万幸,当然也缘于欧拉 “埋头不问窗外事,一头扎在数字里”,他竟然没有遭遇大的麻烦。直到欧洲另一位强势人物登场 —— 普鲁士新的国王、28岁的腓特烈大帝即位。

腓特烈说:我的王宫是欧洲最大的, 里面要拥有欧洲最多的天才!

1741年, 欧拉被这位腓特烈大帝邀请到了柏林,直接担任了柏林科学院的物理数学研究所所长。 

欧拉沉思良久诺诺回答:“夫人,我待过的那个国家,在那里,曾经因为话多而在次日被莫名其妙绞死了的人,很多,很多。”  英国皇室出身的皇太后理解了他。 年轻的腓特烈却不买这个帐。 因为他的话少,以及不大注意去围着这位年轻气盛的皇帝“吹吹拍拍打打”,所以欧拉并不是腓特烈喜欢的“朋友圈中人”。 直到俄国政局趋稳,欧拉又在俄国女皇叶卡捷琳娜大帝的诚恳敦聘下, 重返那座给了他学术地位、也让他胆颤心惊、双目失明后却越来越魂牵梦萦的圣彼得堡城,在那里走完生命中最后的十七年岁月。

他死的那天毫无征兆。 晚餐后还摸着小孙子脑袋逗笑了一会儿, 突然就觉得身体哪里不对劲儿了,烟斗随即从手中掉落。欧拉喃喃自语:“我要死了...”  于是永远停息了伴随一生的数学计算。

 

3

圣人无私。

那个时代的信息交流沟通,主要靠写信。

哥德巴赫遇到了困惑,就写信给欧拉; 拉格朗日碰到了难题,也写信给欧拉。 要知道那时候是邮递马车, 漫漫邮路,一封信一来一去几个月、大半年。 欧拉则有信必复, 而且认真谦逊,无论来信者认不认识、有没有名气。 欧拉坦荡透明,从不博名,更不盗名。 所以给他写信交流学术问题甚至定理发现的科学家们,心里很踏实。欧拉活着的时候,许多数学大家即尊他为导师。


当代科学家们的日子仍不能算富裕,而在当年就是贫困了。 我有时不明白上帝为什么让这些天资聪慧、注定要推动历史的科学人物,生在穷人家里。


比如,挪威数学家亨利克·阿贝尔,在很多数学领域都做出了开创性的工作,比如以他的名字命名的阿贝尔函数。尽管他的成就极高,却在生前没有得到多少认可。 他的生活非常穷困,以致贫病交加,英年早殁,死时只有27岁。 阿贝尔天赋禀禀,有一次他完成了一篇非常著名的论文,就兴冲冲写信寄给了高斯。至于高斯为什么一直没有回复,也没有留下任何评价,已成了谜。  阿贝尔死后不久,欧洲数学界才大吃一惊!因为他的这篇论文干净利落地解决了一个长达250年的数学悬疑。 如果那封信是寄给欧拉呢?

阿贝尔投错了胎,更生错了年代。他出生的时候,欧拉已经离世19年了。

 

4

以我这个业余数学爱好者的理解水平, 所有数学问题,基本可以归结为三大类: 

数;集合;函数。

通俗一些讲就是:① 数字; ② 一堆数字,具有相同或相似特征的一堆数字; ③ 这一堆与那一堆之间(即集合之间)的关系: 用数学公式表达,就是“函数”; 用图形来表达,就是“几何”。 刨挖到根儿,似乎又变成了哲学问题 —— 事物之间的内在联系。

 

关于数字。我按自己的理解又把它分为三类:


(1)看得见摸得着的数字 —— 有理数,在数轴上有固定的唯一的位置。 上图举了祖冲之精确推算出的“密率”:最接近圆周率π 的一个精确值,355/113; 如果你把一条线段均分355等份,在113处的位置就是它,所以讲“既看得见也摸得着”,它是一个无限循环小数,从小数点后第112位开始循环的。

(2)看得见摸不着的数字 —— 无理数,比如π,因为它永远无法在数轴上找到自己的精确位置,看得见却摸不着,永远在“颤动中”。 这没道理嘛,所以被毕达哥拉斯 怒称为“无理数”。

(3)人类目前还看不见的数字 —— 虚数, 因为在数轴上根本就没它的位置!但它似乎又存在、着实存在,而且数学已经发展到了需用它的阶段。 实在没办法了,笛卡尔忽然脑洞大开,给它取名“虚数”。 所以啊,数学研究总是超前于其他学科。 后来,高斯觉得既然在“线”上没它的位置,干脆就在“面”上找呗。 问题一下子就解决了!  有如此广阔的面啊! 空间一维变二维, 哎嗨,一维能变二维,那为什么就不能有三维、四维...... 维呢?  哦,还没到需用的时候呢! 譬如说,宇宙间将来如果真真切切捕捉到了“暗物质”赋予它数学意义上的 i ,那么面对更为寥廓的“暗能量”得再一次拓展数学空间维度啰。


 关于函数。 函数到底是个啥呢? 用一种社会现象来举例诠释:

【集合x】 财富的占有水平

【集合y】 相应财富的人口

这两堆数据之间有什么关系呢? 下图显示出它们存在一种叫做“正态分布”的关系, 有的时候显“负偏态”,有的时候显“正偏态”;但都可以用一个函数来表达,比如在“理想正态”的函数表达中,大家看呀,那个神奇的e又一次现身了。

康熙皇帝虽然没见过这样的正态分布曲线,但他却明白蕴含其中的深刻道理。 他反复告诫自己的儿孙:最底层的人不能太多了,当他们没吃的没喝的、没活路的时候,他们一定会铤而走险!

 

好了,就按照这个思路回到素数问题。

【集合n所有的自然数  1  2  3  4  5  6  7 ....

【集合p所有的素数  2  3  5  7  11  13  17....

这两堆数字之间又有什么关系? 它们之间究竟有没有某种内在联系呢


有啊,肯定有的!

欧拉离世的时候,

留下一把金钥匙。

为什么高斯没拿到呢?

哦 —— 

那是专意留给黎曼的!


这就是欧拉留下的那把金钥匙。

也就是这两堆数字之间的内在联系

 

5

这把金钥匙怎么来的? 公式简洁,推算过程是不是很复杂呢?

不是的,欧拉的数学风格从来都是简单、简单!

然而,脑洞的打开,却不简单、不简单!

(推算过程下节再讲)


这个简洁公式,实在太重要了! 按理应当叫做 “欧拉等式” 才贴切。 无奈何,欧拉的开拓性数学成果太多了,他自己当年没有在意,高斯后来也没有在意。 直到好多年后的那个后生黎曼,注意到了它。  

黎曼嘁哩喀喳,手起刀落,四两拨千金,用这把钥匙轻轻开启了数学迷宫的又一扇大门! 一米阳光乍泄,从此之后的数学和以前完全不一样了 ......

  


  to be continued


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